Алгебра · рецепт 8 из 9 · ≈40 мин

Размерность оболочки, координаты, матрица перехода

КР №1 по алгебре, 16.10

Дают многочлены: найти размерность их оболочки, разложить многочлен по базису, построить матрицу перехода. Всё сводится к матрице из коэффициентов и методу Гаусса.

Что надо помнить

Многочлен ↔ столбец. Многочлену $a_{0} + a_{1} t + a_{2} t^{2} + \dots$ ставим в соответствие столбец $(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots)^{T}$ — коэффициенты по порядку степеней, недостающие степени — нули. Это координаты в естественном базисе $1, t, t^{2}, \dots$ (КК §17).
Линейная оболочка — все линейные комбинации данных векторов. Её размерность = ранг матрицы, составленной из столбцов этих векторов. Базис оболочки — те из данных векторов, чьи столбцы дали ступеньки.
Координаты вектора $x$ в базисе $e_{1}, \dots, e_{n}$ — числа $x_{1}, \dots, x_{n}$ из разложения $x = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ . Находятся из системы: столбцы базиса слева, $x$ справа.
Матрица перехода $C = C_{e \to f}$ — «от базиса $e$ к базису $f$ » (КК § 17): в $j$ -й столбец пишем координаты вектора $f_{j}$ (нового базиса) в старом базисе $e$ . Тогда $f = e C$ и $X_{e} = C X_{f}$ .

Шаги

Столбцы. Каждый многочлен запиши столбцом коэффициентов (по степеням $1, t, t^{2}, \dots$ ).
Ступеньки. Составь из столбцов матрицу и приведи методом Гаусса к ступенчатому виду (преобразуем строки). Число ступенек — ранг, то есть размерность оболочки; векторы со ступеньками — базис.
Координаты. Чтобы разложить $x$ по базису $e$ : допиши к столбцам базиса столбец $x$ и решай систему Гауссом. Ответ — столбец $X_{e}$ .
Матрица перехода. Для перехода «из $e$ в $f$ »: в столбцы $j$ ставим координаты $f_{j}$ в базисе $e$ . Если $f$ — естественный базис, то удобнее: $E$ — матрица из столбцов-векторов $e$ (в естественных координатах), и $C = E^{- 1}$ . Считаем $(E ∣ I) \to (I ∣ C)$ (Гаусс–Жордан).
Проверка. $C \cdot X_{f}$ должно дать $X_{e}$ .

Пример

Условие. В $M_{2}$ (многочлены степени $\leq 2$ ) даны $p_{1} = 1 + t$ , $p_{2} = t + t^{2}$ , $p_{3} = 1 - t^{2}$ , $p_{4} = 1 + t^{2}$ . а) Найти размерность оболочки и базис. б) Разложить $q = 2 + 3 t + t^{2}$ по базису $p_{1}, p_{2}, p_{4}$ . в) Найти матрицу перехода от естественного базиса $1, t, t^{2}$ к базису $p_{1}, p_{2}, p_{4}$ и обратную.

Шаг 1. Столбцы: $p_{1} = (1, 1, 0)^{T}$ , $p_{2} = (0, 1, 1)^{T}$ , $p_{3} = (1, 0, - 1)^{T}$ , $p_{4} = (1, 0, 1)^{T}$ .

Шаг 2.
$110011 10 - 1 101$
Из 2-й строки вычли 1-ю, затем из 3-й вычли 2-ю:
$100010 1 - 1 0 1 - 1 2$
Ступеньки в столбцах 1, 2, 4: ранг $3$ , $dim = 3$ , базис оболочки $p_{1}, p_{2}, p_{4}$ ( $p_{3}$ ступеньки не дал: $p_{3} = p_{1} - p_{2}$ ).

Шаг 3. Система $x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + x_{3} p_{4} = q$ : свободный член $x_{1} + x_{3} = 2$ , при $t$ : $x_{1} + x_{2} = 3$ , при $t^{2}$ : $x_{2} + x_{3} = 1$ . Сложили: $2 (x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 6$ , сумма $3$ . Отсюда $x_{3} = 0, x_{1} = 2, x_{2} = 1$ . Координаты $(2, 1, 0)^{T}$ .

Шаг 4. От естественного $e$ к $f = (p_{1}, p_{2}, p_{4})$ : столбцы — сами $p_{1}, p_{2}, p_{4}$ в естественных координатах:
$C_{e \to f} = 110011101,$
$C_{f \to e} = C^{- 1} = \frac{1}{2} 1 - 1 1 11 - 1 - 1 11 .$

Шаг 5. $C (2, 1, 0)^{T} = (2, 3, 1)^{T}$ — коэффициенты $q$ .

Ответ: а) $dim = 3$ , базис $p_{1}, p_{2}, p_{4}$ ; б) $q = 2 p_{1} + p_{2}$ ; в) $C$ и $C^{- 1}$ выше.

Где ошибаются

Путают направление: «из $e$ в $f$ » — в столбцах координаты новых векторов $f_{j}$ в старом базисе $e$ . Строки вместо столбцов — частая ошибка.
Пропускают нулевые коэффициенты: у $t^{2} + 1$ столбец $(1, 0, 1, 0)^{T}$ , а не $(1, 1)^{T}$ .
В базис берут столбцы ступенчатой матрицы. Базис — исходные векторы, чьи столбцы дали ступеньки.

Потренируйся

Сначала реши сам на бумаге, потом открой ответ. Не сошлось — открой решение и найди шаг, где разошлось.

Задача 1 КК 17.22 · лёгкая

Показать, что векторы $a = {- 5, - 1}$ , $b = {- 1, 3}$ образуют базис $V_{2}$ . Найти координаты $c = {- 6, 2}$ и $d = {2, - 6}$ в этом базисе.

Показать ответ

$c = 1 \cdot a + 1 \cdot b$ , $d = 0 \cdot a - 2 b$ . Координаты $(1, 1)^{T}$ и $(0, - 2)^{T}$ .

Показать решение

Шаг 2: $- 5 - 1 - 1 3 = - 16 \neq = 0$ , ранг $2 = dim V_{2}$ , значит базис. Шаг 3: система $- 5 x_{1} - x_{2} = - 6, - x_{1} + 3 x_{2} = 2$ даёт $x_{1} = x_{2} = 1$ ; для $d$ правая часть $(2, - 6)$ , получаем $x_{1} = 0, x_{2} = - 2$ .

Задача 2 КК 17.36 · средняя

Доказать, что многочлены $2 t + t^{5}$ , $t^{3} - t^{5}$ , $t + t^{3}$ образуют базис пространства нечётных многочленов степени не выше 5, и найти координаты многочлена $5 t - t^{3} + 2 t^{5}$ в этом базисе.

Показать ответ

$(4, 2, - 3)^{T}$ .

Показать решение

Шаг 1: нечётные многочлены имеют только $t, t^{3}, t^{5}$ , размерность 3; столбцы (по $t, t^{3}, t^{5}$ ): $(2, 0, 1)^{T}$ , $(0, 1, - 1)^{T}$ , $(1, 1, 0)^{T}$ . Шаг 2: определитель из них равен $1 \neq = 0$ , ранг 3, базис. Шаг 3: система $2 x_{1} + x_{3} = 5, x_{2} + x_{3} = - 1, x_{1} - x_{2} = 2$ . Из третьего $x_{1} = 2 + x_{2}$ ; в первое: $2 x_{2} + x_{3} = 1$ ; вычли второе: $x_{2} = 2$ , затем $x_{3} = - 3$ , $x_{1} = 4$ .

Задача 3 как на контрольной

а) Найти размерность линейной оболочки многочленов $v_{1} = 1 + t + t^{2}$ , $v_{2} = 1$ , $v_{3} = t$ , $v_{4} = t^{2}$ , $v_{5} = t^{4}$ , $v_{6} = t^{4} - t + 1$ в $M_{5}$ .

б) Разложить многочлен $1 + t + t^{2} + t^{3}$ по базису $t + 1, t^{2} + 1, t^{3} + 1, t^{2}$ и построить матрицу перехода из этого базиса в естественный базис $1, t, t^{2}, t^{3}$ .

Показать ответ

а) $dim = 4$ . б) Координаты $(1, - 1, 1, 2)^{T}$ ; матрица перехода из данного базиса в естественный
$C = 010 - 1 1 - 1 01 0001 0 - 1 11 .$

Показать решение

а) Шаг 1: в порядке $1, t, t^{2}, t^{3}, t^{4}$ столбцы $v_{1} = (1, 1, 1, 0, 0)^{T}$ , $v_{2} = (1, 0, 0, 0, 0)^{T}$ , $v_{3} = (0, 1, 0, 0, 0)^{T}$ , $v_{4} = (0, 0, 1, 0, 0)^{T}$ , $v_{5} = (0, 0, 0, 0, 1)^{T}$ , $v_{6} = (1, - 1, 0, 0, 1)^{T}$ . Шаг 2: Гаусс даёт ступеньки в столбцах $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{5}$ . Остальные выражаются: $v_{4} = v_{1} - v_{2} - v_{3}$ , $v_{6} = v_{2} - v_{3} + v_{5}$ . Ранг $4$ , значит размерность оболочки $4$ (базис $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{5}$ ).

б) Обозначим базис $e_{1} = t + 1, e_{2} = t^{2} + 1, e_{3} = t^{3} + 1, e_{4} = t^{2}$ . Шаг 3: $x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3} + x_{4} e_{4} = 1 + t + t^{2} + t^{3}$ . При $t^{3}$ : $x_{3} = 1$ . При $t$ : $x_{1} = 1$ . Свободный член: $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1$ , значит $x_{2} = - 1$ . При $t^{2}$ : $x_{2} + x_{4} = 1$ , значит $x_{4} = 2$ . Координаты $(1, - 1, 1, 2)^{T}$ .

Шаг 4: нужна матрица «из $e$ в естественный $f = (1, t, t^{2}, t^{3})$ ». По определению КК § 17 ( $f = e C$ ) в $j$ -й столбец идут координаты $f_{j}$ в базисе $e$ . Столбцы-векторы $e$ в естественных координатах
$E = 1100101010010010,$
и $C = E^{- 1}$ , считаем $(E ∣ I) \to (I ∣ C)$ (как в рецепте «Обратная матрица»). Внимание: «из $e$ в естественный» — это $E^{- 1}$ , а не сама $E$ . Матрица $E$ , где столбцы — сами векторы $e$ , — это переход в обратную сторону, из естественного базиса в $e$ .

Шаг 5: $C (1, 1, 1, 1)^{T} = (1, - 1, 1, 2)^{T}$ — совпало с пунктом б).