Алгебра · рецепт 9 из 9 · ≈25 мин

Является ли функция скалярным произведением

КР №1 по алгебре, 16.10

Дают функцию $f (x, y)$ , например $f (x, y) = x^{T} B y$ на $R^{n}$ , и спрашивают: «удовлетворяет ли она аксиомам скалярного произведения?». Нужно проверить три аксиомы и ответить «да» или «нет» с доказательством.

Что надо помнить

Аксиомы (КК § 24, теорема 24.2; $x, y, z$ — векторы, $λ$ — число):
1. симметричность: $f (x, y) = f (y, x)$ ;
2. линейность по первому аргументу: $f (x + y, z) = f (x, z) + f (y, z)$ и $f (λ x, y) = λ f (x, y)$ ;
3. положительность: $f (x, x) > 0$ при $x \neq = 0$ (то есть $f (x, x) \geq 0$ и $f (x, x) = 0$ только при $x = 0$ ).
Для $f (x, y) = x^{T} B y$ (число, строка $\times$ матрица $\times$ столбец): аксиома 2 выполнена всегда — умножение матриц линейно. Проверять не надо, достаточно написать «линейность следует из свойств умножения матриц».
Симметричность $⟺ B = B^{T}$ . Если $B \neq = B^{T}$ , ответ «нет»: найди пару $x, y$ с $f (x, y) \neq = f (y, x)$ , например базисные векторы $e_{i}, e_{j}$ : $f (e_{i}, e_{j}) = b_{ij}$ .
$f (x, x) = x^{T} B x$ — «квадратичная форма» (многочлен из $x_{i}^{2}$ и $x_{i} x_{j}$ ). Это главное, что проверяется. Чтобы доказать $> 0$ — выдели полные квадраты; чтобы опровергнуть — найди один $x \neq = 0$ с $f (x, x) \leq 0$ .

Шаги

Запиши $B$ . Если $f$ дана формулой, выпиши матрицу: коэффициент при $x_{i} y_{j}$ стоит на месте $(i, j)$ .
Симметричность. Сравни $B$ и $B^{T}$ . Не равны — стоп, ответ «нет» (приведи $f (e_{i}, e_{j}) \neq = f (e_{j}, e_{i})$ ).
Линейность. Одна фраза: есть всегда.
Положительность. Напиши $f (x, x)$ . Попробуй подставить простые $x \neq = 0$ : $e_{1}$ , $e_{2}$ , $(1, - 1)$ , $(1, 1)$ . Получил $\leq 0$ — стоп, «нет» с этим $x$ .
Если не нашёл — докажи. Выдели полные квадраты: $f (x, x)$ — сумма квадратов с положительными коэффициентами. Тогда $f (x, x) = 0$ только при всех слагаемых нулевых, то есть при $x = 0$ . Ответ «да».

Пример

Условие. На $R^{2}$ задана а) $f = 2 x_{1} y_{1} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + 2 x_{2} y_{2}$ ; б) $f = x_{1} y_{1} + 2 x_{1} y_{2} + 2 x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2}$ . Скалярные ли это произведения?

Шаг 1. а) $B = (2112)$ ; б) $B = (1221)$ .

Шаг 2. В обоих случаях $B = B^{T}$ , симметричность есть.

Шаг 3. Линейность по первому аргументу есть всегда.

Шаг 4. а) $f (x, x) = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2}$ ; на $e_{1}$ — $2$ , на $(1, - 1)$ — $2 - 2 + 2 = 2$ , плохих не видно. б) $f (x, x) = x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$ ; на $x = (1, - 1)$ : $1 - 4 + 1 = - 2 < 0$ . Аксиома 3 нарушена, ответ «нет».

Шаг 5. а) Выделяем квадраты:
$f (x, x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + (x_{1} + x_{2})^{2} .$
Это $0$ только при $x_{1} = x_{2} = 0$ , иначе $> 0$ .

Ответ: а) да; б) нет, так как $f ((1, - 1), (1, - 1)) = - 2 < 0$ .

Где ошибаются

Проверяют только $f (x, x) \geq 0$ и забывают строгость. Если $f (x, x) = 0$ при каком-то $x \neq = 0$ , аксиома 3 нарушена.
Думают, что положительные числа в $B$ достаточны. Не достаточны: в примере б) все элементы положительны, а $f (x, x) < 0$ .
Для «нет» приводят общие слова. Нужен конкретный $x$ с вычисленным $f (x, x)$ .
Проверяют линейность долго и с ошибками. Для $x^{T} B y$ она есть всегда.

Потренируйся

Сначала реши сам на бумаге, потом открой ответ. Не сошлось — открой решение и найди шаг, где разошлось.

Задача 1 своя · лёгкая

На $R^{2}$ задана $f (x, y) = x_{1} y_{1} + 2 x_{2} y_{2}$ . Является ли она скалярным произведением?

Показать ответ

Да.

Показать решение

Шаг 1: $B = (1002)$ . Шаг 2: $B = B^{T}$ . Шаг 3: линейность есть. Шаги 4–5: $f (x, x) = x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2}$ — сумма квадратов с положительными коэффициентами, равна $0$ только при $x = 0$ .

Задача 2 своя · средняя

На $R^{2}$ задана $f (x, y) = x_{1} y_{1} - x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2}$ . Является ли она скалярным произведением?

Показать ответ

Нет: $f (x, x) = 0$ при $x = (1, 1) \neq = 0$ .

Показать решение

Шаг 1: $B = (1 - 1 - 1 1)$ . Шаг 2: $B = B^{T}$ . Шаг 3: линейность есть. Шаг 4: $f (x, x) = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2} \geq 0$ , но при $x = (1, 1)$ получаем $1 - 2 + 1 = 0$ , а $x \neq = 0$ . Строгая положительность нарушена.

Задача 3 как на контрольной

Пусть $A$ — невырожденная матрица порядка $n$ . Удовлетворяет ли аксиомам скалярного произведения функция $f (x, y) = x^{T} A A^{T} y$ ? (Примерный вариант КР №1, № 6.)

Показать ответ

Да, удовлетворяет.

Показать решение

Шаг 1: $B = A A^{T}$ . Шаг 2: $B^{T} = (A^{T})^{T} A^{T} = A A^{T} = B$ , симметричность есть. Шаг 3: линейность есть. Шаг 4: $f (x, x) = x^{T} A A^{T} x = (A^{T} x)^{T} (A^{T} x) = ∣ A^{T} x ∣^{2}$ — квадрат длины вектора $A^{T} x$ , поэтому $f (x, x) \geq 0$ . Шаг 5: $f (x, x) = 0$ $⟺$ $A^{T} x = 0$ . Матрица $A^{T}$ невырождена (её определитель равен $∣ A ∣ \neq = 0$ ), поэтому $A^{T} x = 0$ только при $x = 0$ . Значит, при $x \neq = 0$ имеем $f (x, x) > 0$ . Все три аксиомы выполнены.