Алгебра · рецепт 7 из 9 · ≈30 мин

Обратная матрица

КР №1 по алгебре, 16.10

Дают матрицу и просят найти обратную к ней. Иногда матрица не с числами, а задана формулой (например, $I - 2 u u^{T}$ ) — тогда обратную можно угадать и проверить умножением.

Что надо помнить

$A^{- 1}$ — такая матрица, что $A A^{- 1} = A^{- 1} A = E$ . Существует, только если $∣ A ∣ \neq = 0$ . Если $∣ A ∣ = 0$ , матрица вырожденная и обратной нет — на этом всё.
Для 2×2 есть готовая формула: если $A = (α γ β δ)$ , $∣ A ∣ = α δ - β γ \neq = 0$ , то
$A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (δ - γ - β α) .$
Диагональные элементы меняются местами, у двух других меняется знак.
Для 3×3 и больше — метод Гаусса–Жордана: пишем рядом $(A ∣ E)$ и преобразованиями только строк превращаем левую часть в $E$ . Тогда справа получится $A^{- 1}$ : $(A ∣ E) \to (E ∣ A^{- 1})$ . (Присоединённая матрица для 3×3 по книге — долгое вычисление, поэтому основной способ — Гаусс.)
Проверка: достаточно одного произведения $A A^{- 1} = E$ (если $A B = E$ , то $B = A^{- 1}$ — это теорема из КК).

Шаги

Проверь определитель. Посчитай $∣ A ∣$ . Если он нуль — обратной нет, пиши это и заканчивай.
2×2 — формула. Подставь числа в формулу выше и всё. Дальше переходи к шагу 5.
3×3 и больше — составь $(A ∣ E)$ . Справа от $A$ допиши единичную матрицу того же размера.
Гаусс–Жордан. Сначала занули всё под диагональю (сверху вниз), потом всё над диагональю (снизу вверх), потом раздели строки, чтобы на диагонали стали единицы. Каждое действие делай со всей строкой, и слева, и справа.
Проверь. Перемножь $A A^{- 1}$ — должна получиться $E$ . Если нет, ищи арифметическую ошибку.
Матрица задана формулой? Попробуй угадать $A^{- 1}$ (например, $A^{- 1} = A$ ) и проверь умножением $A A^{- 1} = E$ .

Пример

Условие. Найти обратную к $A = 111122123$ .

Шаг 1. $∣ A ∣ = 1 \cdot (6 - 4) - 1 \cdot (3 - 2) + 1 \cdot (2 - 2) = 1$ .

Шаг 3.
$111122123100010001$

Шаг 4. Из 2-й и 3-й строк вычли 1-ю:
$100111112 1 - 1 - 1 010001$
Из 3-й вычли 2-ю (слева треугольный вид):
$100110111 1 - 1 0 01 - 1 001$
Из 1-й и 2-й вычли 3-ю:
$100110001 1 - 1 0 12 - 1 - 1 - 1 1$
Из 1-й вычли 2-ю:
$100010001 2 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 1$

Шаг 5. Проверка: первая строка $A$ умножается на столбцы $A^{- 1}$ : $2 - 1 + 0 = 1$ , $- 1 + 2 - 1 = 0$ , $0 - 1 + 1 = 0$ . Остальные строки проверяются так же, получается $E$ .

Ответ: $A^{- 1} = 2 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 1$ .

Где ошибаются

Забывают проверить $∣ A ∣ \neq = 0$ и гонят преобразования зря. Нулевая строка слева по ходу Гаусса значит то же самое: обратной нет.
Преобразуют только левую часть. Любое действие делают со всей строкой $(A ∣ E)$ .
Вычитают не ту строку: «из 1-й вычли 2-ю» берёт 2-ю в её нынешнем виде, а не исходную.
Не делают проверку $A A^{- 1} = E$ . Она занимает минуту и ловит арифметику.

Потренируйся

Сначала реши сам на бумаге, потом открой ответ. Не сошлось — открой решение и найди шаг, где разошлось.

Задача 1 КК 9.4 · лёгкая

Найти обратную для матрицы $A = (a b - b a)$ , $a^{2} + b^{2} \neq = 0$ .

Показать ответ

$A^{- 1} = \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} (a - b b a)$ .

Показать решение

Шаг 1: $∣ A ∣ = a \cdot a - (- b) \cdot b = a^{2} + b^{2} \neq = 0$ .
Шаг 2: меняем местами диагональные элементы (оба $a$ остаются на месте) и меняем знак у $- b$ и $b$ :
$A^{- 1} = \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} (a - b b a)$ .
Шаг 5: $A A^{- 1} = \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} (a^{2} + b^{2} ab - ab ab - ab b^{2} + a^{2}) = E$ .

Задача 2 КК 9.28 · средняя

Методом Гаусса–Жордана найти обратную для матрицы $A = 122 21 - 2 2 - 2 1$ .

Показать ответ

$A^{- 1} = \frac{1}{9} 122 21 - 2 2 - 2 1$ .

Показать решение

Шаг 3: $(A ∣ E)$ . Шаг 4: из 2-й и 3-й строк вычли удвоенную 1-ю:
$100 2 - 3 - 6 2 - 6 - 3 1 - 2 - 2 010001$
Из 3-й вычли удвоенную 2-ю:
$100 2 - 3 0 2 - 6 9 1 - 2 2 01 - 2 001$
Теперь нули над диагональю: 2-ю строку заменили на (3 · 2-я + 2 · 3-я), 1-ю — на (9 · 1-я − 2 · 3-я), затем к 1-й прибавили удвоенную 2-ю:
$900 0 - 9 0 009 1 - 2 2 2 - 1 - 2 221$
Разделили строки на $9, - 9, 9$ : слева $E$ , справа ответ. Шаг 5: $A A^{- 1} = E$ (первая строка: $(1 + 4 + 4) /9 = 1$ , $(2 + 2 - 4) /9 = 0$ , $(2 - 4 + 2) /9 = 0$ ).

Задача 3 как на контрольной

Найти обратную к матрице $A = I - 2 u u^{T} \in R^{5 \times 5}$ при условии $u^{T} u = 1$ . ( $I = E$ , единичная; $u$ — столбец из 5 чисел.)

Показать ответ

$A^{- 1} = A$ .

Показать решение

Шаг 6: здесь числа не даны, поэтому гаусс не нужен. Угадываем $A^{- 1} = A$ и проверяем $A^{2} = E$ :
$A^{2} = (I - 2 u u^{T}) (I - 2 u u^{T}) = I - 4 u u^{T} + 4 u (u^{T} u) u^{T} .$
Скобку $(u^{T} u)$ можно вынести, потому что это число, и она равна 1. Тогда
$A^{2} = I - 4 u u^{T} + 4 u u^{T} = I .$
Раз $AA = E$ , то по теореме о единственности обратной $A^{- 1} = A$ . Определитель проверять не нужно: из $A^{2} = E$ уже видно, что обратная есть.