Алгебра · рецепт 6 из 9 · ≈35 мин

Ранг и дефект матрицы

КР №1 по алгебре, 16.10

Дают матрицу (числовую, с параметром или «порядка 2023» с формулой для элементов) и просят найти ранг, иногда ещё и дефект. Для обычной матрицы — метод Гаусса; для огромной — приём «сумма столбец·строка».

Что надо помнить

Ранг $rg A$ — число ненулевых строк матрицы после приведения к ступенчатому виду (нули слева внизу, «лесенка»). Элементарные преобразования ранг не меняют.
Ранг не больше меньшего из размеров: $rg A \leq min (m, n)$ . У нулевой матрицы ранг $0$ .
Дефект квадратной матрицы порядка $n$ — это $n - rg A$ . Определитель $\neq = 0$ значит дефект $0$ .
Минор — определитель, составленный из элементов на пересечении нескольких строк и столбцов. Если нашёлся ненулевой минор порядка $r$ , то $rg A \geq r$ .
Если $A = x_{1} y_{1}^{T} + \dots + x_{k} y_{k}^{T}$ (сумма $k$ матриц «столбец·строка»), то $rg A \leq k$ .

Шаги

Поставь удобное число в угол. Лучше $1$ или $- 1$ : переставь строки или столбцы. Дроби не нужны.
Занули столбец под ведущим. Из каждой нижней строки вычти ведущую, умноженную на нужное число.
Повтори для следующего столбца без первой строки. Если строка стала нулевой или повторила другую — она «отпала», убери её вниз.
Посчитай ненулевые строки — это ранг. Для квадратной матрицы дефект равен $n - rg A$ .
Матрица большая, с формулой для $a_{ij}$ ? Разложи элемент в сумму произведений «что-то от $i$ » на «что-то от $j$ ». Каждое слагаемое — матрица ранга $\leq 1$ . Слагаемых $k$ — ранг $\leq k$ .
Докажи, что ровно $k$ . Найди ненулевой минор порядка $k$ (обычно из первых $k$ строк и столбцов). Тогда $rg A \geq k$ , и ранг равен $k$ .

Пример

Условие. Найти ранг и дефект матрицы
$A = 12312462371041342 .$

Шаг 1. В углу уже стоит $1$ .

Шаг 2. Из 2-й строки вычли 1-ю, умноженную на 2; из 3-й вычли 1-ю, умноженную на 3; из 4-й вычли 1-ю:
$1000200031111111 .$

Шаг 3. Во 2-м столбце под первой строкой одни нули, идём дальше: ведущий — $1$ в 3-м столбце 2-й строки. Из 3-й и 4-й строк вычли 2-ю:
$1000200031001100 .$

Шаг 4. Ненулевых строк две, значит $rg A = 2$ . Порядок $n = 4$ , дефект $4 - 2 = 2$ .

Ответ: ранг $2$ , дефект $2$ .

Где ошибаются

Считают нулевые строки вместо ненулевых. Ранг — это именно ненулевые строки.
Ступенька не в соседнем столбце. Если под ведущим в столбце одни нули, пропусти столбец и ищи ведущий правее: нули слева всё равно образуют лесенку.
Дефект путают с рангом. Дефект $= n - rg A$ , у невырожденной матрицы он $0$ .
В «большой» матрице остановились на «ранг $\leq k$ ». Это только оценка сверху; без ненулевого минора ответ не готов.

Потренируйся

Сначала реши сам на бумаге, потом открой ответ. Не сошлось — открой решение и найди шаг, где разошлось.

Задача 1 КК 16.7 · лёгкая

Вычислить ранг матрицы
$- 3 - 1 6 - 3 25 - 12 7 0239 13 - 7 4 45 - 8 15 .$

Показать ответ

$rg A = 3$ .

Показать решение

Шаг 1: ведущий — $1$ в 1-й строке, 4-м столбце. Шаг 2: из 2-й строки вычли утроенную 1-ю, к 3-й прибавили 1-ю, умноженную на 7, из 4-й вычли учетверённую 1-ю:
$- 3 8 - 15 9 2 - 1 2 - 1 02391000 4 - 7 20 - 1 .$
Шаг 3: ведущий — $- 1$ во 2-й строке, 2-м столбце. К 3-й строке прибавили удвоенную 2-ю, из 4-й вычли 2-ю: обе стали $(1, 0, 7, 0, 6)$ . Вычли 3-ю из 4-й — нулевая строка. Остались 3 ненулевые строки (они уже образуют лесенку, если столбцы взять в порядке 4, 2, 1, 3, 5). Шаг 4: ранг $3$ .

Задача 2 пример КР №1, № 5б · средняя

Две плоскости $a_{1} x + a_{2} y + a_{3} z = b_{1}$ и $p_{1} x + p_{2} y + p_{3} z = b_{2}$ различны и пересекаются по прямой. Найти ранги матриц
$(a_{1} p_{1} a_{2} p_{2} a_{3} p_{3}) и (a_{1} p_{1} a_{2} p_{2} a_{3} p_{3} b_{1} b_{2}) .$

Показать ответ

Оба ранга равны $2$ .

Показать решение

Строк всего две, поэтому ранг $\leq 2$ (ранг не больше числа строк). Теперь покажем, что он не $1$ . Ранг $1$ — это когда 2-я строка получается из 1-й умножением на число $t$ . Для первой матрицы это значит $p_{i} = t a_{i}$ : плоскости параллельны, либо совпадают. По условию они пересекаются по прямой, значит строки $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ и $(p_{1}, p_{2}, p_{3})$ не пропорциональны, и $rg = 2$ . Вторая матрица получена из первой приписыванием столбца, её ранг не меньше, то есть тоже $\geq 2$ , а значит равен $2$ .

Задача 3 как на контрольной · КР №1, № 3б

Вычислить ранг и дефект вещественной матрицы $A$ порядка $2023$ с элементами $a_{ij} = cos (i + j) + 1$ . Подсказка: $cos (i + j) = cos i cos j - sin i sin j$ .

Показать ответ

Ранг $3$ , дефект $2023 - 3 = 2020$ .

Показать решение

Шаг 5. Запишем $a_{ij} = cos i \cdot cos j - sin i \cdot sin j + 1 \cdot 1$ . Пусть $c$ — столбец $(cos 1, \dots, cos 2023)^{T}$ , $s$ — столбец из $sin i$ , $e$ — столбец из единиц. Тогда
$A = c c^{T} - s s^{T} + e e^{T} .$
Это сумма трёх матриц вида «столбец·строка», каждая имеет ранг $\leq 1$ . Значит $rg A \leq 3$ .

Шаг 6. Нужен ненулевой минор порядка 3. Возьмём левый верхний угол $A_{3}$ — строки и столбцы $1, 2, 3$ . То же разложение, записанное для него, — это произведение трёх матриц:
$A_{3} = V 100 0 - 1 0 001 V^{T},$
$V = cos 1 cos 2 cos 3 sin 1 sin 2 sin 3 111 .$
(Проверь: элемент $(i, j)$ справа равен $cos i cos j - sin i sin j + 1$ .) Определитель произведения равен произведению определителей, поэтому $∣ A_{3} ∣ = ∣ V ∣ \cdot (- 1) \cdot ∣ V ∣ = - ∣ V ∣^{2}$ .

Осталось понять, что $∣ V ∣ \neq = 0$ . Строки $V$ — это точки $(cos i, sin i)$ на окружности радиуса 1 (плюс единица в конце). Определитель такого вида равен удвоенной площади треугольника с вершинами в этих точках (со знаком), то есть он нуль, только если три точки лежат на одной прямой. А три разные точки окружности на одной прямой не лежат; разные они потому, что углы $1, 2, 3$ радиана отличаются меньше чем на полный оборот $2 π$ . Значит $∣ V ∣ \neq = 0$ (численно $∣ V ∣ \approx 0, 774$ ), $∣ A_{3} ∣ \neq = 0$ и $rg A \geq 3$ .

Итого $rg A = 3$ ; дефект $= n - rg A = 2023 - 3 = 2020$ .