Алгебра · рецепт 5 из 9 · ≈40 мин

Система уравнений методом Гаусса

КР №1 по алгебре, 16.10

Дают систему $A x = b$ (часто неквадратную, неизвестных больше, чем уравнений) и просят построить общее решение. Идея: приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду, потом выражаем одни неизвестные через другие.

Что надо помнить

Расширенная матрица — матрица $A$ , к которой справа приписан столбец $b$ . Строки преобразуем вместе с $b$ : прибавлять к строке другую строку (с множителем), менять строки местами, умножать строку на число $\neq = 0$ .
Несовместность. Если получилась строка $00 \dots 0 ∣ b \neq = 0$ , решений нет. Нулевая строка $0 \dots 0 ∣ 0$ — просто выкидываем.
Главные неизвестные — те, чьи столбцы содержат первый ненулевой элемент ступеней. Остальные — свободные (КК § 21): им можно дать любые значения.
ФСР (фундаментальная система решений) — набор векторов, из которых линейными комбинациями получаются все решения однородной системы $A x = 0$ .
Общее решение $A x = b$ $=$ частное решение $+$ линейная комбинация векторов ФСР (с коэффициентами — свободными неизвестными).

Шаги

Запиши расширенную матрицу $(A ∣ b)$ .
Прямой ход. Сверху вниз зануляй столбцы под ведущими элементами (из нижних строк вычитай верхнюю с множителем). Получится «лесенка».
Проверь совместность. Есть строка $0 \dots 0 ∣ b \neq = 0$ — ответ «несовместна», конец. Нулевые строки вычеркни.
Раздели неизвестные. Столбцы ступеней — главные неизвестные, остальные — свободные. Если свободных нет, решение единственное.
Обратный ход. Идя снизу вверх, выражай главные неизвестные через свободные и числа.
Собери ответ. Частное решение — все свободные равны $0$ . ФСР — для каждого свободного по очереди: он $= 1$ , остальные свободные $= 0$ , а правую часть $b$ заменяем нулями. Ответ: $x = x_{част} + c_{1} f_{1} + c_{2} f_{2} + \dots$

Пример

Условие. Найти общее решение:
$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} = 4 2 x_{1} + 4 x_{2} + 3 x_{3} + 4 x_{4} = 11 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + 3 x_{4} = 7$

Шаг 1.
$1212421321434117$

Шаг 2. Из 2-й строки вычли 1-ю, умноженную на 2. Из 3-й вычли 1-ю:
$100200111122433$
Из 3-й вычли 2-ю — получилась нулевая строка.

Шаг 3. Строки $0 \dots 0 ∣ b \neq = 0$ нет — система совместна. Нулевую строку вычёркиваем.

Шаг 4. Ступени в столбцах 1 и 3: главные $x_{1}, x_{3}$ ; свободные $x_{2}, x_{4}$ .

Шаг 5. Из 2-й строки $x_{3} = 3 - 2 x_{4}$ . Из 1-й $x_{1} = 4 - 2 x_{2} - x_{3} - x_{4} = 1 - 2 x_{2} + x_{4}$ .

Шаг 6. Частное решение ( $x_{2} = x_{4} = 0$ ): $x^{*} = (1, 0, 3, 0)^{T}$ . ФСР: при $x_{2} = 1, x_{4} = 0$ и нулевой правой части — $f_{1} = (- 2, 1, 0, 0)^{T}$ ; при $x_{2} = 0, x_{4} = 1$ — $f_{2} = (1, 0, - 2, 1)^{T}$ .

Ответ: $x = 1030 + c_{1} - 2 100 + c_{2} 10 - 2 1$ , $c_{1}, c_{2} \in R$ .

Где ошибаются

Забывают преобразовывать столбец $b$ вместе со строкой — и ответ «уезжает».
Для ФСР берут правую часть $b$ вместо нулей. ФСР всегда считается для $A x = 0$ .
Путают строку $0 \dots 0 ∣ 0$ (можно выкинуть) со строкой $0 \dots 0 ∣ b \neq = 0$ (решений нет).
Свободных неизвестных должно быть $n - r$ ( $n$ — число неизвестных, $r$ — число ненулевых строк); если число другое, ошибка в вычислении.

Потренируйся

Сначала реши сам на бумаге, потом открой ответ. Не сошлось — открой решение и найди шаг, где разошлось.

Задача 1 КК 21.2 · лёгкая

Исследовать на совместность и найти общее решение:
$⎩ ⎨ ⎧ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 5 x_{1} + x_{2} + 5 x_{3} = - 7 2 x_{1} + 3 x_{2} - 3 x_{3} = 14$

Показать ответ

$x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = - 2$ (единственное решение).

Показать решение

Шаг 1–2: поменяли 1-ю и 2-ю строки; из остальных вычли 1-ю с множителями. Получилось $(0 - 5 - 1 ∣ - 8)$ , $(0 - 2 4 ∣ - 12)$ , $(0 - 3 - 5 ∣ 4)$ . Строку $(0 - 2 4 ∣ - 12)$ разделили на $- 2$ : $(01 - 2 ∣ 6)$ , и ею занулили столбец в двух других. Обе остались $(00 - 11 ∣ 22)$ — одна вычёркивается.
Шаг 3–4: противоречий нет, свободных неизвестных нет.
Шаг 5: $x_{3} = - 2$ , $x_{2} = 6 + 2 x_{3} = 2$ , $x_{1} = 5 - 3 x_{2} - x_{3} = 1$ .

Задача 2 КК 21.3 · средняя

Исследовать на совместность и найти общее решение:
$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} - x_{4} = - 1 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + 5 x_{4} = 5$

Показать ответ

$x = (0, 0, 0, 1)^{T} + c_{1} (2, 1, 0, 0)^{T} + c_{2} (- 1, 0, 1, 0)^{T}$ . Это то же множество, что в книге ( $x_{3} = 2 x_{2} - x_{1}$ , $x_{4} = 1$ ), только там свободные $x_{1}, x_{2}$ .

Показать решение

Шаг 2: из 2-й и 3-й строк вычли 1-ю: $(0002 ∣ 2)$ и $(0006 ∣ 6)$ ; из 3-й вычли 2-ю, умноженную на 3 — нулевая строка.
Шаг 3–4: совместна. Ступени в столбцах 1 и 4: главные $x_{1}, x_{4}$ ; свободные $x_{2}, x_{3}$ .
Шаг 5: $x_{4} = 1$ , $x_{1} = 2 x_{2} - x_{3}$ .
Шаг 6: частное ( $x_{2} = x_{3} = 0$ ): $(0, 0, 0, 1)^{T}$ . ФСР: $x_{2} = 1, x_{3} = 0$ — $(2, 1, 0, 0)^{T}$ ; $x_{2} = 0, x_{3} = 1$ — $(- 1, 0, 1, 0)^{T}$ .

Задача 3 как на контрольной

Построить общее решение $A x = b$ , где
$A = 234345456567678, b = 468 .$

Показать ответ

x = 20000 + c_{1} 1 - 2 100 + c_{2} 2 - 3 010 + c_{3} 3 - 4 001, c_{i} \in R .

Показать решение

Шаг 1: матрица $(A ∣ b)$ размера $3 \times 6$ .
Шаг 2: из 2-й строки вычли 1-ю: $(11111 ∣ 2)$ . Из 3-й вычли 1-ю: $(22222 ∣ 4)$ . Из неё вычли 2-ю, умноженную на 2 — нулевая строка (вычёркиваем). Осталось две строки: поменяли их местами, чтобы наверху была строка из единиц, и из второй вычли первую, умноженную на 2:
$(101112131420)$
Шаг 3: строки $0 \dots 0 ∣ b \neq = 0$ нет, система совместна.
Шаг 4: ступени в столбцах 1 и 2: главные $x_{1}, x_{2}$ ; свободные $x_{3}, x_{4}, x_{5}$ ( $5 - 2 = 3$ ).
Шаг 5: из 2-й строки $x_{2} = - 2 x_{3} - 3 x_{4} - 4 x_{5}$ . Из 1-й $x_{1} = 2 - x_{2} - x_{3} - x_{4} - x_{5} = 2 + x_{3} + 2 x_{4} + 3 x_{5}$ .
Шаг 6: частное ( $x_{3} = x_{4} = x_{5} = 0$ ): $(2, 0, 0, 0, 0)^{T}$ . ФСР: по очереди $x_{3} = 1$ , $x_{4} = 1$ , $x_{5} = 1$ (остальные свободные $0$ , правая часть нулевая) — это три вектора из ответа.