Алгебра · рецепт 4 из 9 · ≈30 мин

Трёхдиагональный определитель (рекуррентное соотношение)

КР №1 по алгебре, 16.10

В контрольной дают большой определитель (например, 7×7), у которого ненулевые числа стоят только на главной диагонали и на двух соседних с ней. Считать его «в лоб» долго, поэтому его считают по цепочке: от маленького определителя к следующему.

Что надо помнить

Трёхдиагональный определитель: числа только на главной диагонали и на диагоналях рядом с ней, всё остальное нули. Пусть на диагонали стоит $a$ , над ней $b$ , под ней $c$ (во всех клетках одно и то же).
Обозначим $D_{n}$ определитель такого вида порядка $n$ . Разложение по первой строке (КК, формула (7.3)) даёт цепочку:
$D_{n} = a D_{n - 1} - b c D_{n - 2} .$
Начало цепочки: $D_{1} = a$ (определитель из одного числа), $D_{2} = a^{2} - b c$ (обычный $2 \times 2$ ).
Если на диагонали 2, рядом 1: $b c = 1$ и $D_{n} = 2 D_{n - 1} - D_{n - 2}$ .

Шаги

Выпиши $a$ , $b$ , $c$ . Посмотри на диагональ, на числа над ней и под ней. Посчитай $b c$ — произведение «над» на «под».
Запиши цепочку. Подставь в $D_{n} = a D_{n - 1} - b c D_{n - 2}$ свои числа.
Найди $D_{1}$ и $D_{2}$ . $D_{1} = a$ , $D_{2} = a^{2} - b c$ .
Иди по цепочке до нужного порядка. Каждое следующее число считай из двух предыдущих. Для 7×7 это пять шагов: $D_{3}, \dots, D_{7}$ .
Если порядок не задан (нужно $D_{n}$ ), выпиши первые 4–5 значений, угадай формулу (например, $n + 1$ ) и проверь её на $D_{1}$ , $D_{2}$ и на цепочке.

Пример

Условие. Вычислить $D_{5}$ : на диагонали 3, над ней 2, под ней 1.

Шаг 1. $a = 3$ , $b = 2$ , $c = 1$ , значит $b c = 2$ .

Шаг 2. $D_{n} = 3 D_{n - 1} - 2 D_{n - 2}$ .

Шаг 3. $D_{1} = 3$ , $D_{2} = 9 - 2 = 7$ .

Шаг 4.
$D_{3} D_{4} D_{5} = 3 \cdot 7 - 2 \cdot 3 = 15, = 3 \cdot 15 - 2 \cdot 7 = 31, = 3 \cdot 31 - 2 \cdot 15 = 63.$

Ответ: $D_{5} = 63$ .

Где ошибаются

Забывают минус в цепочке: $D_{n} = a D_{n - 1} - b c D_{n - 2}$ . Если $b c$ отрицательное (например, $b = 1$ , $c = - 1$ ), минус и минус дают плюс.
Берут $b$ или $c$ вместо произведения $b c$ — нужны оба числа, перемноженные.
Начинают с $D_{2} = a^{2}$ — забыв вычесть $b c$ .
Путают порядок: для 7×7 нужен $D_{7}$ , а не $D_{6}$ . Считай номера: $D_{1}, D_{2}, \dots$ и дойди до семёрки.

Потренируйся

Сначала реши сам на бумаге, потом открой ответ. Не сошлось — открой решение и найди шаг, где разошлось.

Задача 1 КК 7.59 · лёгкая

Вычислить определитель 6-го порядка: на диагонали 2, над ней 4, под ней 1 (остальные элементы нули).
$D_{6} = 210000421000042100004210000421000042$

Показать ответ

$D_{6} = 64$ .

Показать решение

Шаг 1: $a = 2$ , $b = 4$ , $c = 1$ , $b c = 4$ .
Шаг 2: $D_{n} = 2 D_{n - 1} - 4 D_{n - 2}$ .
Шаг 3: $D_{1} = 2$ , $D_{2} = 4 - 4 = 0$ .
Шаг 4: $D_{3} = 2 \cdot 0 - 4 \cdot 2 = - 8$ , $D_{4} = 2 \cdot (- 8) - 4 \cdot 0 = - 16$ , $D_{5} = 2 \cdot (- 16) - 4 \cdot (- 8) = 0$ , $D_{6} = 2 \cdot 0 - 4 \cdot (- 16) = 64$ .

Задача 2 КК 7.60 · средняя

Вычислить определитель 6-го порядка: на диагонали $a$ , над и под ней 1 (остальные нули).

Показать ответ

$D_{6} = a^{6} - 5 a^{4} + 6 a^{2} - 1$ .

Показать решение

Шаг 1: диагональ $a$ , $b = c = 1$ , $b c = 1$ .
Шаг 2: $D_{n} = a D_{n - 1} - D_{n - 2}$ .
Шаг 3: $D_{1} = a$ , $D_{2} = a^{2} - 1$ .
Шаг 4:
$D_{3} D_{4} D_{5} D_{6} = a (a^{2} - 1) - a = a^{3} - 2 a, = a (a^{3} - 2 a) - (a^{2} - 1) = a^{4} - 3 a^{2} + 1, = a (a^{4} - 3 a^{2} + 1) - (a^{3} - 2 a) = a^{5} - 4 a^{3} + 3 a, = a (a^{5} - 4 a^{3} + 3 a) - (a^{4} - 3 a^{2} + 1) = a^{6} - 5 a^{4} + 6 a^{2} - 1.$
Проверка: при $a = 2$ получается $64 - 80 + 24 - 1 = 7$ , и это сходится с $D_{n} = n + 1$ для $a = 2$ .

Задача 3 как на контрольной

Задача 2 примерного варианта КР №1. Вычислить определитель 7×7: на диагонали 2, на соседних диагоналях 1.
$2100000121000001210000012100000121000001210000012$

Показать ответ

$D_{7} = 8$ .

Показать решение

Шаг 1: $a = 2$ , $b = c = 1$ , $b c = 1$ .
Шаг 2: $D_{n} = 2 D_{n - 1} - D_{n - 2}$ .
Шаг 3: $D_{1} = 2$ , $D_{2} = 4 - 1 = 3$ .
Шаг 4: идём по цепочке:
$D_{3} D_{5} D_{7} = 2 \cdot 3 - 2 = 4, = 2 \cdot 5 - 4 = 6, = 2 \cdot 7 - 6 = 8. D_{4} D_{6} = 2 \cdot 4 - 3 = 5, = 2 \cdot 6 - 5 = 7,$
Видно, что каждый следующий больше на 1: $D_{n} = n + 1$ . Поэтому $D_{7} = 7 + 1 = 8$ . Если на контрольной просят общий $D_{n}$ , пиши $D_{n} = n + 1$ — формула сходится с $D_{1} = 2$ и $D_{2} = 3$ , и цепочка её не ломает: $2 (n) - (n - 1) = n + 1$ .