Алгебра · рецепт 3 из 9 · ≈40 мин

Определитель методом Гаусса

КР №1 по алгебре, 16.10

Дают определитель (числовой 4×4 или «порядка $n$ » с закономерностью) и просят вычислить, приводя к треугольному виду. Идея: делаем нули под диагональю, потом перемножаем диагональ.

Что надо помнить

Треугольный определитель (все нули под диагональю или все над ней) равен произведению диагональных элементов.
Что делают со значением определителя преобразования строк:
прибавить к строке другую строку, умноженную на число, — ничего не меняется;
поменять две строки местами — знак меняется на противоположный;
умножить строку на $k$ — определитель умножается на $k$ . Значит, общий множитель строки можно вынести за определитель.
Всё то же верно и для столбцов.
Если есть нулевая строка или две одинаковые (пропорциональные) строки, определитель равен $0$ .

Шаги

Выбери ведущую строку. Лучше, чтобы в левом верхнем углу стояла $1$ (или число, на которое всё делится). Если там $0$ — поменяй строки (запомни: знак сменился).
Занули столбец под ней. Из каждой нижней строки вычитай ведущую, умноженную на подходящее число. Определитель не меняется.
Повтори для следующего столбца, уже без первой строки и столбца. Дроби не любишь — переставь строки или вычти строки друг из друга, чтобы появилась $\pm 1$ .
Дойди до треугольного вида и перемножь диагональ.
Учти знаки и множители: каждая перестановка строк — умножь на $- 1$ ; каждый вынесенный множитель — умножь на него.
Порядок $n$ с закономерностью (например $a$ на диагонали, $b$ вне её): прибавь к первой строке все остальные — все её элементы станут одинаковыми, вынеси этот общий множитель, потом вычти первую строку из остальных.

Пример

Условие. Вычислить
$0121123121121342 .$

Шаг 1. В углу $0$ — меняем местами 1-ю и 2-ю строки. Знак сменился, запоминаем минус:
$- 1021213112123142$

Шаг 2. Из 3-й строки вычли 1-ю, умноженную на 2; из 4-й вычли 1-ю:
$- 1000 21 - 1 - 1 12 - 1 1 31 - 2 - 1$

Шаг 3. Следующий столбец, ведущая — 2-я строка (там $1$ ). К 3-й и 4-й строкам прибавили 2-ю:
$- 100021001213 31 - 1 0$
Из 4-й вычли 3-ю, умноженную на 3:
$- 100021001210 31 - 1 3$

Шаг 4. Вид треугольный. Диагональ: $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3$ .

Шаг 5. Была одна перестановка строк — ставим минус.

Ответ: $- 3$ .

Пример 2 — порядок $n$ (шаг 6). На диагонали $a$ , на всех остальных местах $b$ . Прибавим к 1-й строке все остальные: в каждом её столбце получится $a + (n - 1) b$ . Вынесем это число — в 1-й строке останутся одни единицы. Из каждой следующей строки вычтем 1-ю, умноженную на $b$ : в строке останется только $a - b$ на диагонали, остальное — нули.
$D_{n} = (a + (n - 1) b) 10 ⋮ 0 1 a - b 0 \dots \dots ⋱ \dots 10 ⋮ a - b$
Вид треугольный, на диагонали одна $1$ и $n - 1$ раз $a - b$ . Ответ: $D_{n} = (a + (n - 1) b) (a - b)^{n - 1}$ .

Где ошибаются

Забывают знак после перестановки строк. Считай перестановки: нечётное число — минус.
Умножают строку на число «для удобства» и не делят определитель на это число. Безопаснее только вычитать строки, а не умножать их.
Меняют саму ведущую строку, пока она ещё нужна для остальных. Вычитай её из нижних строк, а её не трогай.
Теряют множитель при выносе: вынес $k$ — в ответе стоит $k \cdot (\dots)$ .

Потренируйся

Сначала реши сам на бумаге, потом открой ответ. Не сошлось — открой решение и найди шаг, где разошлось.

Задача 1 КК 7.1 · лёгкая

Вычислить определитель

1111 1 - 2 11 1131 111 - 4

Показать ответ

$30$

Показать решение

Шаг 1: ведущая строка — 1-я, в углу $1$ .
Шаг 2: из 2-й, 3-й и 4-й строк вычли 1-ю. Получились строки $(0, - 3, 0, 0)$ , $(0, 0, 2, 0)$ , $(0, 0, 0, - 5)$ .
Шаг 4: матрица треугольная, диагональ $1, - 3, 2, - 5$ .
Шаг 5: перестановок и множителей не было. $1 \cdot (- 3) \cdot 2 \cdot (- 5) = 30$ .

Задача 2 КК 7.3 · средняя

Вычислить определитель

0135101331015310

Показать ответ

$- 11$

Показать решение

Шаг 1: в углу $0$ — поменяли 1-ю и 2-ю строки (знак $-$ ). Ведущая строка $(1, 0, 1, 3)$ .
Шаг 2: из 3-й вычли 3 раза 1-ю, из 4-й вычли 5 раз 1-ю. Получили строки $(0, 1, - 3, - 8)$ и $(0, 3, - 4, - 15)$ .
Шаг 3: со 2-й строкой $(0, 1, 3, 5)$ : из 3-й вычли 2-ю, из 4-й вычли 3 раза 2-ю. Строки $(0, 0, - 6, - 13)$ и $(0, 0, - 13, - 30)$ .
Дальше без дробей: из 3-й вычли 4-ю — $(0, 0, 7, 17)$ ; к 4-й прибавили 3-ю (новую), умноженную на 2, — $(0, 0, 1, 4)$ ; из 3-й вычли 7 раз 4-ю — $(0, 0, 0, - 11)$ .
Поменяли 3-ю и 4-ю строки (второй раз знак $-$ ). Диагональ $1, 1, 1, - 11$ .
Шаг 5: две перестановки дают $(- 1)^{2} = 1$ . Ответ $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (- 11) = - 11$ .

Задача 3 как на контрольной · КК 7.30

Вычислить определитель порядка $n$ : на диагонали стоят $1, 2, \dots, n$ (сверху вниз), на всех остальных местах — число $n$ .

Показать ответ

$(- 1)^{n - 1} n!$

Показать решение

Последняя строка: $n, n, \dots, n$ (на диагонали тоже $n$ ). Вычтем её из каждой из первых $n - 1$ строк (шаг 2).
В строке $i$ останется только $i - n$ на диагонали, все остальные элементы станут $0$ :

1 - n 0 ⋮ 0 n 0 2 - n 0 n \dots \dots ⋱ \dots \dots 00 - 1 n 00 ⋮ 0 n

Матрица треугольная (нули над диагональю). Диагональ: $1 - n, 2 - n, \dots, - 1, n$ .
Первые $n - 1$ чисел — отрицательные: $- (n - 1), \dots, - 1$ . Их произведение $(- 1)^{n - 1} (n - 1)!$ . Умножаем на последнее $n$ :
$(- 1)^{n - 1} (n - 1)! \cdot n = (- 1)^{n - 1} n!$ .
Проверка при $n = 2$ : $1222 = 2 - 4 = - 2 = (- 1)^{1} \cdot 2!$ .