Алгебра · рецепт 2 из 9 · ≈30 мин

Определитель 2×2, 3×3 и разложение по строке

КР №1 по алгебре, 16.10

В контрольной дают квадратную таблицу чисел (2×2, 3×3, а то и 4×4) и просят найти её определитель — одно число. Определитель 4×4 считают так же, как 3×3: сводят к маленьким определителям.

Что надо помнить

Определитель 2×2: главная диагональ минус побочная.
$a c b d = a d - b c .$
Минор $M_{ij}$ — определитель, который остаётся, если в таблице вычеркнуть $i$ -ю строку и $j$ -й столбец.
Алгебраическое дополнение $A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ . Знак $(- 1)^{i + j}$ идёт «шахматной доской»:
$+ - + - + - + - +$
(для 4×4 она продолжается так же: в левом верхнем углу «+», дальше по очереди).
Разложение по $i$ -й строке: $det A = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{in} A_{in}$ . Для столбца — то же самое по столбцу (КК, формула (6.3)).
Слагаемое с $a_{ij} = 0$ равно нулю — его вообще не считаем.

Шаги

Найди строку или столбец, где больше всего нулей. Раскладывать будем по нему.
Выпиши ненулевые элементы этой линии и для каждого — его знак по шахматной доске: $(- 1)^{i + j}$ .
Для каждого такого элемента вычеркни его строку и столбец. Оставшееся — минор $M_{ij}$ .
Посчитай миноры. Если минор 2×2 — по формуле «диагональ минус диагональ». Если 3×3 — снова разложение по строке с нулями (шаги 1–4 заново).
Собери сумму: элемент · знак · минор, по всем ненулевым элементам линии. Это и есть определитель.

Пример

Условие. Вычислить
$312040 2 - 1 5 .$

Шаг 1. Во 2-м столбце два нуля — раскладываем по нему.

Шаг 2. Ненулевой элемент один: $a_{22} = 4$ . Знак $(- 1)^{2 + 2} = +$ .

Шаг 3. Вычёркиваем 2-ю строку и 2-й столбец, остаётся
$M_{22} = 3225$ .

Шаг 4. $M_{22} = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 2 = 11$ .

Шаг 5. $det = 4 \cdot (+ 1) \cdot 11 = 44$ .

Ответ: $44$ .

Где ошибаются

Забывают знак $(- 1)^{i + j}$ . Сверяйся с шахматной доской: на месте $(1, 2)$ стоит «минус», на $(2, 2)$ — «плюс».
В $2 \times 2$ путают порядок: это $a d - b c$ (главная диагональ минус побочная), а не наоборот.
Раскладывают по строке без нулей и считают три больших минора вместо одного. Сначала ищи нули.
Вычёркивают не ту строку или столбец при поиске минора. Вычёркивай именно строку и столбец самого элемента.

Потренируйся

Сначала реши сам на бумаге, потом открой ответ. Не сошлось — открой решение и найди шаг, где разошлось.

Задача 1 КК 5.3 · лёгкая

Вычислить определитель второго порядка
$1935203519652065 .$

Показать ответ

$- 3000$

Показать решение

Здесь нужен только $a d - b c$ (шаг 4 для матрицы 2×2, разложение не нужно).
$1935 \cdot 2065 = 3995775$ , $1965 \cdot 2035 = 3998775$ .
Разность: $3995775 - 3998775 = - 3000$ .

Задача 2 КК 5.13 · средняя

Вычислить определитель третьего порядка
$c a 0 a 0 b 0 b c .$

Показать ответ

$- c (a^{2} + b^{2})$

Показать решение

Шаг 1: в 1-й строке есть ноль в 3-м столбце — раскладываем по 1-й строке.
Шаг 2: элементы $c$ (знак $+$ ) и $a$ (знак $-$ ).
Шаг 3–4: для $c$ вычёркиваем 1-ю строку и 1-й столбец: $0 b b c = 0 \cdot c - b \cdot b = - b^{2}$ .
Для $a$ вычёркиваем 1-ю строку и 2-й столбец: $a 0 b c = a c - 0 = a c$ .
Шаг 5: $c \cdot (- b^{2}) - a \cdot a c = - b^{2} c - a^{2} c = - c (a^{2} + b^{2})$ .

Задача 3 как на контрольной

КК 6.8: вычислить определитель четвёртого порядка
$130110371141923973114030 .$

Показать ответ

$200$

Показать решение

Шаг 1: в 4-м столбце два нуля (во 2-й и 4-й строках): раскладываем по нему.
Шаг 2: ненулевые элементы $a_{14} = 4$ со знаком $(- 1)^{1 + 4} = -$ и $a_{34} = 3$ со знаком $(- 1)^{3 + 4} = -$ .

Шаг 3: для $a_{14}$ вычёркиваем 1-ю строку и 4-й столбец:
$M_{14} = 01101141997311 .$
Для $a_{34}$ вычёркиваем 3-ю строку и 4-й столбец:
$M_{34} = 13003711923911 .$

Шаг 4: это определители 3×3, снова ищем нули.
$M_{14}$ — раскладываем по 1-му столбцу, там один ненулевой элемент $11$ в позиции $(2, 1)$ , знак $-$ :
$M_{14} = - 11 \cdot 119911 = - 11 \cdot (121 - 81) = - 440$ .
$M_{34}$ — тоже по 1-му столбцу, один элемент $13$ в позиции $(1, 1)$ , знак $+$ :
$M_{34} = 13 \cdot (121 - 81) = 520$ .

Шаг 5: $det = 4 \cdot (- 1) \cdot (- 440) + 3 \cdot (- 1) \cdot 520 = 1760 - 1560 = 200$ .