Алгебра · рецепт 1 из 9 · ≈30 мин

Умножение матриц и степень матрицы

КР №1 по алгебре, 16.10

В контрольной дают матрицу (часто особого вида) и просят найти $A^{k}$ при любом $k$ . Для этого надо уметь умножать матрицы и заметить закономерность в $A^{2}$ , $A^{3}$ .

Что надо помнить

Произведение $A B$ есть, только если число столбцов $A$ = числу строк $B$ . Размер: $(m \times n) \cdot (n \times k) = m \times k$ . Средние числа совпадают и «пропадают», крайние дают размер ответа.
Элемент $c_{ij}$ произведения $C = A B$ : берёшь $i$ -ю строку $A$ и $j$ -й столбец $B$ , перемножаешь попарно и складываешь: $c_{ij} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots$
Порядок важен: в общем случае $A B \neq = B A$ . Зато скобки ставить можно как удобно: $(A B) C = A (BC)$ .
Строка на столбец ( $1 \times n$ на $n \times 1$ ) даёт число. Столбец на строку ( $n \times 1$ на $1 \times n$ ) даёт матрицу $n \times n$ .
Степень: $A^{2} = A \cdot A$ , $A^{3} = A^{2} \cdot A$ . Степень есть только у квадратной матрицы.

Шаги

Проверь размеры. Выпиши размеры сомножителей. Если средние числа разные, произведения нет.
Посчитай $A^{2}$ . Каждый элемент — «строка на столбец». Считай по одному элементу, не всё сразу.
Посчитай $A^{3} = A^{2} A$ и сравни с $A$ и $A^{2}$ . Ищи, как повторяется вид: тот же множитель? та же матрица? сдвиг числа?
Если $A = uv$ , где $u$ — столбец, $v$ — строка, закономерность видна сразу. В $A^{2} = u v u v$ средняя часть $vu$ — число, его выносим: $A^{2} = (vu) uv = (vu) A$ . Так же $A^{3} = (vu)^{2} A$ и в общем виде $A^{k} = (vu)^{k - 1} A$ .
Запиши ответ и проверь его на $k = 1$ (должно получиться $A$ ) и на $k = 2$ .

Пример

Условие. $A = 213 (102)$ . Найти $A^{k}$ .

Шаг 1. Столбец $3 \times 1$ на строку $1 \times 3$ : средние числа 1 и 1, значит $A$ — матрица $3 \times 3$ . Квадратная, степени можно считать.

Шаг 2. Считаем $A$ как столбец на строку: элемент $(i, j)$ — это $i$ -е число столбца, умноженное на $j$ -е число строки.

A = 213000426 .

Шаг 3–4. Строка на столбец: $vu = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 8$ . Тогда $A^{2} = u (vu) v = 8 A$ , $A^{3} = A^{2} A = 8 A \cdot A = 64 A$ . Закономерность: каждая степень добавляет множитель 8.

Шаг 5. Проверка: при $k = 1$ множитель $8^{0} = 1$ , получается $A$ .

Ответ: $A^{k} = 8^{k - 1} A$ .

Где ошибаются

Путают, что на что умножать: строка на столбец — число, столбец на строку — матрица. Смотри на размеры.
Считают $A B$ как поэлементное умножение (ячейка на ячейку). Так нельзя: нужна строка на столбец.
Переставляют сомножители: $uv \neq = vu$ (слева матрица, справа число).
Забывают, что показатель на единицу меньше: $(vu)^{k - 1}$ , а не $(vu)^{k}$ .

Потренируйся

Сначала реши сам на бумаге, потом открой ответ. Не сошлось — открой решение и найди шаг, где разошлось.

Задача 1 КК 1.2 в) · лёгкая

Найти произведение $A B$ , где
$A = 6 - 4 - 3 2 32 - 1 - 4 - 2 - 3 41 - 7 513, B = 1111 .$

Показать ответ

$A B = 0012$ .

Показать решение

Шаг 1: $4 \times 4$ на $4 \times 1$ — произведение есть, размер $4 \times 1$ .
Шаг 2: в $B$ одни единицы, поэтому каждый элемент — просто сумма строки $A$ :
$6 + 3 - 2 - 7 = 0$ , $- 4 + 2 - 3 + 5 = 0$ , $- 3 - 1 + 4 + 1 = 1$ , $2 - 4 + 1 + 3 = 2$ .

Задача 2 КК 1.25 б) · средняя

Найти $n$ -ю степень матрицы $A = (- 5 10 - 5 10)$ .

Показать ответ

$A^{n} = 5^{n} (- 1 2 - 1 2)$ (то же, что $5^{n - 1} A$ ).

Показать решение

Шаг 2: $A^{2} = (25 - 50 - 50 + 100 25 - 50 - 50 + 100) = (- 25 50 - 25 50) = 5 A$ .
Шаг 3: $A^{3} = A^{2} A = 5 A^{2} = 25 A$ . Каждая степень добавляет множитель 5.
Шаг 4: $A = (- 1 2) (55)$ , $vu = - 5 + 10 = 5$ , значит $A^{n} = 5^{n - 1} A = 5^{n} (- 1 2 - 1 2)$ .
Шаг 5: при $n = 1$ получаем $5 (- 1 2 - 1 2) = A$ . Верно.

Задача 3 как на контрольной

Вычислить $A^{k}$ , $A \in R^{n \times n}$ , где $A = [123 \dots n]^{T} [11 \dots 1]$ (пример КР №1, задача 1).

Показать ответ

$A^{k} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{k - 1} A$ , где $A$ — матрица, у которой вся $i$ -я строка состоит из чисел $i$ .

Показать решение

Шаг 1: $u = (1, 2, \dots, n)^{T}$ — столбец $n \times 1$ , $v = (1, 1, \dots, 1)$ — строка $1 \times n$ . Их произведение $A = uv$ — матрица $n \times n$ , её элемент $a_{ij} = i \cdot 1 = i$ . То есть в $i$ -й строке стоят одни числа $i$ .

Шаг 4: считаем $vu$ — строка на столбец, получится число:
$vu = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + \dots + 1 \cdot n = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2} .$
Дальше $A^{2} = uvuv = u (vu) v = (vu) uv = (vu) A$ , а $A^{3} = A^{2} A = (vu) A \cdot A = (vu)^{2} A$ . Получаем $A^{k} = (vu)^{k - 1} A$ .

Шаг 5: при $k = 1$ множитель равен 1, получается $A$ . Для $n = 2$ : $A = (1212)$ , $vu = 3$ , и прямой счёт даёт $A^{2} = (3636) = 3 A$ . Сходится.