Разминка: десять задач по минуте

Образец. Первое число умножаем на первое, второе на второе, результаты складываем:
$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)=1\cdot 3+2\cdot 4=11.$$

Теперь ты. $\left(\begin{array}{cc}3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$

Образец. То же самое, только слагаемых три:
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)=1\cdot 2+0\cdot 1+2\cdot 3=8.$$

Теперь ты. $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$

Образец. Каждую строку матрицы умножаем на столбец, как в задаче 1. Строк две, поэтому в ответе два числа:
$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\cdot 1+2\cdot 1\\ 3\cdot 1+4\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right).$$

Теперь ты. $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$

Образец. Каждую строку левой матрицы умножаем на каждый столбец правой. Первая строка на первый столбец — число слева вверху, первая строка на второй столбец — справа вверху, и так далее:
$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)=\\ & =\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+2\cdot 3& 1\cdot 0+2\cdot 1\\ 0\cdot 1+1\cdot 3& 0\cdot 0+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& 1\end{array}\right).\end{array}$$

Теперь ты. $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

Образец. Перемножаем числа по диагонали «слева сверху — направо вниз» и вычитаем произведение по другой диагонали:
$$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=1\cdot 4-2\cdot 3=-2.$$

Теперь ты. $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right|$

Образец. Правило то же. Отрицательное число бери в скобки, тогда знак не потеряется:
$$\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 5\end{array}\right|=2\cdot 5-(-1)\cdot 3=10+3=13.$$

Теперь ты. $\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 4\end{array}\right|$

Образец. Если под диагональю одни нули, определитель равен произведению чисел на диагонали. Остальные числа не нужны:
$$\left|\begin{array}{ccc}2& 5& 1\\ 0& 3& 7\\ 0& 0& 4\end{array}\right|=2\cdot 3\cdot 4=24.$$

Теперь ты. $\left|\begin{array}{ccc}1& 9& 8\\ 0& 2& 6\\ 0& 0& 5\end{array}\right|$

Образец. Надо убрать $x$ из второго уравнения. Для этого из второго уравнения вычитаем первое, умноженное на 2:
$$\{\begin{array}{l}x+2y=3\\ 2x+5y=8\end{array}$$
Считаем по частям:
- с иксом: $2x-2\cdot x=0$;
- с игреком: $5y-2\cdot 2y=y$;
- справа: $8-2\cdot 3=2$.

Получилось $y=2$.

Теперь ты. Убери $x$ из второго уравнения: вычти из него первое, умноженное на 3.
$$\{\begin{array}{l}x+3y=7\\ 3x+10y=24\end{array}$$

Образец. В задаче 8 получилось $y=2$. Подставляем в первое уравнение $x+2y=3$:
$$x+2\cdot 2=3,x=3-4=-1.$$

Теперь ты. В своей системе из задачи 8 ты нашёл $y=3$. Первое уравнение там такое: $x+3y=7$. Подставь в него игрек и найди икс.

Образец. Столбец на строку даёт таблицу. Каждое число столбца умножаем на каждое число строки:
$$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 3& 1\cdot 4\\ 2\cdot 3& 2\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 6& 8\end{array}\right).$$

Теперь ты. $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 3\end{array}\right)$